Gabriel: vrak i Store Lungegårdsvann

Det finnes mange skjulte skatter på bunnen av Store Lungegårdsvann. I denne oppgaven skal vi bruke vektorregning til å studere hvor i Store Lungegårdsvann det ligger gamle vrak.

Store Lungegårdsvann har ofte vert en vel trafikkert del av Bergen havn, spesielt i gamle dager da det var forbindelse mellom lille og store Lungegårdsvann og båter kunne segle helt inn til Kaigaten ved lille Lungegårdsvann gjennom store Lunegårdsvann. Opp gjennom årene har mange båter sunket i Store Lungegårdsvann. Bergen Sjøfartsmuseum gjorde et studie i 2014 der de kartla vrak som de fant på bunnen av vannet. Du kan lese rapporten: Sjofartsmuseet_vrak_lungegårdsvann.  De kartla en liste av 25 lokaliteter. Fem av lokalitetene som er funnet er vernet av kulturminneloven og er fartøy som antas å være eldre enn 100 år. Blant disse er også D/S Topdal, et dampskip som sank i 1946.

a) Vi skal nå bruke vektorregning på et kart til å regne på avstander mellom de ulike vrakene. I Geogebra filen Kart_vrak_store_lungegårdsvann_vektorer finner du et kart av Store Lungegårdsvann med de ulike vrakene tegnet inn. De ulike vrakene er nummerert fra 1-25 og svarer til listen i denne rapporten: Sjofartsmuseet_vrak_lungegårdsvann. Hver enhet på x-aksen og y-aksen svarer til nøyaktig en meter i virkeligheten. Som dere ser så er en par punkter allerede merket i Geogebra filen. Punkt A og B bestemmer plasseringen av koordinatsystemet så disse må ikke flyttes på. Ellers så har vi markert midten av koordinatsystemet, Amalie Skram videregående skole, målestasjonen Gabriel og båtkaien til ADO Arena. Pass på at rutenettet i Geogebra vises (høyreklikk på grafikkfeltet).

I forhold til origo, hva er posisjonsvektorene til Gabriel, Skolen og D/S Topdal? Du kan lese mer om vektorer og få hjelp på NDLA sine hjemmesider.

b) Bruk Geogebra til å tegne en vektor fra origo til Gabriel og kall denne vektoren for \({\vec{g}}\). (Hint: du finner vektorfunksjonen i Geogebra under «linje-knappen») Lag så en ny vektor fra Gabriel til båtkaien og kall denne vektoren for \({\vec{b}}\). Finn summen \({\vec{g} + \vec{b}}\) ved regning. Tegn inn denne vektoren i Geogebra. Hva er posisjonsvektoren til båtkaien?

c) Bruk Geogebra til å tegne en vektor fra Gabriel til skolen og kall denne vektoren for \({\vec{a}}\). Lag så en ny vektor fra skolen til båtkaien og kall denne vektoren for \({\vec{c}}\). Finn summen \({\vec{a} + \vec{c}}\) ved regning. Tegn inn denne vektoren i Geogebra.

d) Vi kan finne lengden av en vektor ved regning eller grafisk i Geogebra ved å bruke «Lengde[ <Objekt> ]» der objektet er navnet på vektoren. Finn avstanden mellom origo og Gabriel ved regning og grafisk i Geogebra.

e) Finn avstanden mellom origo og skolen ved regning og grafisk i Geogebra. Finn deretter avstanden mellom origo og skipet D/S Topdal ved regning og grafisk.

f) Finn avstanden mellom D/S Topdal og skolen bare ved å bruke regning. (Hint: regn først ut summen av vektorene du fant i oppgave e))

g) Punkt nr.9 på kartet er et vernet fartøy som er antatt å være eldre enn 100 år. I forbindelse med utbygging av bybanen skal det graves og fylles ut på nordøstkysten av Store Lungegårdsvann. Vi må passe på at gravearbeidet ikke ødelegger eller dekker over de vernede vrakene. I den forbindelse lurer vi på hvor langt det er fra vannkanten til vrak nr.9. Hva er avstanden fra nr.9 til land? (Hint: lag et nytt punkt i vannkanten nærmest nr.9)

h) La oss si at vi med båt har funnet vrak nr7. og vrak nr.8. Vi har katet og ønsker nå å finne vrak nr.9. Bruk Geogebra til å tegne en vektor fra vrak nr. 7 til vrak nr.8 og kall denne vektoren for \({\vec{d}}\). Lag så en ny vektor fra vrak nr.7 til vrak nr.9 og kall denne vektoren for \({\vec{e}}\). Hva er vinkelen mellom disse vektorene? Dette er vinkelen vi må kjøre fra linjen mellom vrak nr.7  og vrak nr.8 for å finne vrak nr.9. Hvor langt må vi kjøre fra vrak nr.7?

i) Hva er skalarproduktet mellom vektorene \({\vec{d}}\) og \({\vec{e}}\)? Finn svaret ved regning og kontroller svaret ved å bruke Geogebra.

i) Det skal legges et avløpsrør fra båtkaien til ADO til andre siden av Store Lungegårdsvann ved Tonningneset. Vi ønsker at røret ikke skal legges over eller treffe vrak nr.14 som er fredet. Hvis vi tar båtkaien som utgangspunkt hvilken vinkel med x-aksen kan røret IKKE legges i for at det ikke skal treffe vrak nr. 14? (Hint: Vi ønsker å finne en vinkel mellom en vektor og x-aksen.)

j) Tegn inn en vektor fra land til vrak nr.22 (rett nord) og kall denne vektoren \({\vec{f}}\). Skriv opp vektoren på koordinatform. Det ryktes at rett nord for vrak nr.22 ca. 3.5 gonger avstanden mellom land og vrak nr.22 så ligger det et annet vrak som ikke er funnet enda. Finn vektoren til dette punktet ved regning og grafisk i Geogebra. (Hint: multipliser vektoren \({\vec{f}}\) med skalaren 3.5)

k) Det skal lages en ny løype til vannskuterkjøring i Store Lungegårdsvann.  Vannskuterne må kjøre fra båtkaien og rundt bøyen Gabriel og en turbiditetsmåler. Førerne av vannskuterne tror at svingen rundt Gabriel og mot turbiditetsmåleren er 90 grader. Undersøk ved regning om vektorene mellom båtkaien og Gabriel, og Gabriel og turbiditetsmåleren er ortogonale.

Bilde på fremsiden: Sonarbilde av båt på bunn av Store Lungegårdsvann. Foto: Bergen sjøfartsmuseum.