Bergenstemperaturen: ett år beskrevet som et polynom

I denne oppgaven skal vi jobbe med andregradspolynom og sesongvariasjonen av temperaturen i Bergen.

Høyere ordens polynomer blir mye brukt i naturvitenskap. Noen utrykk kommer direkte fra vår forståelse av fysikk, og gir en fin og enkel ligning uten for mange desimaler. De fleste funksjonene vi opererer med i realfag derimot er basert på store datasett og statistikk. Vi kaller slike funksjoner for «best-fit» og «empiriske funksjoner». De er derfor ikke aktuelle og brukbar for alle steder eller tidsperioder.

a) Basert på det du vet om formen til andregradspolynom, kan du tenke deg noen eksempler på datasett eller målinger som kan beskrives med et andregradspolynom? (Som for eksempel temperatur gjennom året som vi skal dekke i denne oppgaven? )

b) Sammenhengen mellom temperatur og døgn gjennom året kan bli ganske bra beskrevet av et andregradspolynom. Kan du tenke deg situasjoner eller målinger som ikke kan bli beskrevet av et andregradspolynom?

Et datasett fra Meteorologisk Institutt som beskriver gjennomsnittlig døgntemperatur ved Florida værstasjon i Bergen for året 2015 er presentert i figuren nedfor.

Den røde linjen er et «best-fit» andregradspolynom. Polynomet har følgende ligning:

\({f(x)= -0.0003228227x^2 + 0.1347389705x -1.4762158638}\).

c) Hvilke forskjeller ser du mellom datasettet og regresjonspolynomet? Beskriv forskjellene ved å si noe om 1) ekstremalpunktene til polynomet og datasettet, 2) formen til polynomet sammenlignet med datasettet, og 3) andre forskjeller du legger merke til.

d) Når skjærer polynomet x-aksen? Hvilken dato i året tilsvarer dette? Hva er gjennomsnittstemperaturen da og er dette realistisk?

e) Plot polynomet gitt i oppgaven over i Geogebra. Hva er den høyeste temperaturen i følge polynomet og når får vi denne? Sammenlign dette med de ekte verdiene.

f) Hva er verdimengden til polynomet? Må du begrense polynomet til en bestemt definisjonmengde? Hva er verdimengden til datasettet?

g) Hva var gjennomsnittstemperaturen på bursdagen din i 2015 i følge polynomet? Husker om det var varmere eller kaldere enn dette? Siden vi snakker om døgn-gjennomsnitt tror du dette generelt sett er varmere eller kaldere enn slik vi opplever temperaturen på dagtid?

h) Når var i følge polynomet døgn-gjennomsnittet 10 grader?

i) Den første halvdelen av året kan også beskrives ved å bruke en linear regresjonslinje med ligningen:

\({g(x)=0.06021206x + 1.14137.}\)

Løs ligningsettet \({f(x)=g(x)}\) grafisk ved å bruke Geogebra. Hva betyr resultatet av denne ligningen?

j) Ved å se på det du har gjort i denne oppgaven. Hvilke svakheter tror du det finnes ved å beskrive et datasett som dette ved hjelp av et andregradspolynom? Har du forslag på løsninger til disse svakhetene?

Oppgaven er laget av Anne Morèe og oversatt til norsk av Morven Muilwijk.