Geopotensiell høyde og gravitasjon

Viste du at vekten ikke er den samme i Himalaya og i Norge? Geopotensiell høyde er et vertikalt mål på høyden over gjennomsnittlig havnivå der en bruker variasjonen av gravitasjonen med breddegrad og høyde i stedet for geometrisk høyde, som er høyden i meter over havet. Vanligvis bruker man geopotensiell høyde om høyden mellom overflaten og opp til et visst trykknivå. Meteorologer bruker ofte den geopotensielle høyden i stedet for geometrisk høyde, fordi de analytiske utregningene blir enklere.

Geopotensiell høyde er gitt ved formelen: \( Z(h)=\frac{\Phi(h)}{g_0} \),

der \( g_0 \) = 9.80665 m/s\( ^2 \) er standard gravitasjon ved havnivå,

geopotensialet \( {\displaystyle \Phi(h)= \int_0^h \! g(\phi,z) \, \mathrm{d}x} \) er den gravitasjonelle, potensielle energien [m\( ^2 \)/s \( ^2 \)] ved høyde \( h \)

og \( g(\phi,z) \) er tyngdekraften ved en gitt høyde \( z \) [m] og breddegrad \( \phi \) [º].

Denne tabellen viser verdiene for gravitasjonen ved ekvator og nordpolen, ved 500 og ved 5000 meters høyde:

1. Hvorfor har gravitasjonen en lavere verdi ved ekvator enn ved nordpolen? Hvorfor minker verdien til gravitasjonen med høyde? Bruk tilgjengelige hjelpemiddel.

2. Bruk opplysningene ovenfor til å regne ut den geopotensielle høyden ved ekvator og ved nordpolen, både for 500 og for 5000 meters høyde. Er avvikene store fra den geometriske høyden?

Den hypsometriske ligningen uttrykker at forskjellen mellom geopotensiell høyde \( Z_2-Z_1 \) [m] mellom to trykknivåer \( P_1 \) og \( P_2 \) [Pa] er proporsjonal med gjennomsnittstemperaturen \( \bar{T} \) [K] til laget mellom de to trykknivåene:

\( Z_2-Z_1=\frac{R}{g_0}\bar{T}\ln\left(\frac{P_1}{P_2}\right) \),

der R = 287.058 J / kg  K er gasskonstanten for tørr luft.

3. Utled den hypsometriske ligningen. Start med å bruke den ideelle gassloven:

\( P=\rho RT \),

til å finne et uttrykk for tettheten \( \rho \) [kg/m\( ^3 \)], og sett inn dette uttrykket i den hydrostatiske ligningen uttrykt ved geopotensiell høyde:

\( \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}Z}=-\rho g_0 \).

Bruk også approksimasjonen at integralet av temperaturen mellom to trykkflater er lik den gjennomsnittlige temperaturen mellom trykkflatene:

\( {\displaystyle \int_{P_1}^{P_2} \! T \, \mathrm{d}P=\bar{T}\int_{P_1}^{P_2} \! \mathrm{d}P} \).

4. Gjør om på den hypsometriske ligningen slik at du får et uttrykk for gjennomsnittstemperatur. Regn ut gjennomsnittlig temperatur mellom 500 og 5000 meters høyde både for ekvator og for nordpolen, ved å sette inn verdiene for \( Z_1 \) og \( Z_2 \) du fant i Oppgave 2, og approksimerte trykkverdier både for ekvator og nordpolen ved 500 og 5000 meters høyde fra denne tabellen:

Merk: enheten Kelvin [K] = ºC + 273.15.

Merk: Den hypsometriske ligningen er beregnet for små vertikale avstander. Dette kan gi utslag på nøyaktigheten på svaret i Opggave 4.

---

Kilder :

Beregning av lokal gravitasjon avhengig av høyde og breddegrad er basert på SensorsOne Local Gravity Calculator (http://www.sensorsone.com/local-gravity-calculator/).

Beregning av trykk avhengig av høyde og breddegrad er basert på Midé Air Pressure at Altitude Calculator (http://www.mide.com/pages/air-pressure-at-altitude-calculator).