Tornadoer

Tornadoer oppstår i forbindelse med kraftig tordenvær, og er sterkt roterende luftsøyler som strekker seg fra det overhengende skylaget og ned til bakken.

Luftstrømmen i en tornado er tilnærmet balansert av sentrifugalkraften (som virker radielt utover fra tornadoens senter), og trykkgradientkraften (som virker radielt innover mot tornadoens senter). Dette kalles syklostrofisk balanse, og uttrykkes ved ligningen:

\({\large \frac{v^2}{r} = \frac{1}{\rho} \frac{dP}{dr}}\) \({}\)

Hvor venstre side av ligningen betegner sentrifugalkraften og høyre side betegner trykkgradientkraften, mens:

r = Avstand fra tornadoens senter [m],

v = Tangentiell vindhastighet [m/s],

P = Trykk [Pa],

\({\rho }\) = lufttetthet [kg/m\({^3}\)] (anta konstant lik 1.25 kg/m\({^3}\)).

1.  Hvordan må trykket være i tornadoens senter (høytrykk eller lavtrykk)? Bruk ligningen for syklostrofisk balanse til å begrunne svaret ditt matematisk. Tips: vindhastigheten v må være reell.

2.  Anta at trykket i tornadoen endrer seg med en konstant rate \({\large \frac{dP}{dr}}\)= 20 Pa/m, og at tornadoen har en ytre radius på 175 m. I GeoGebra, tegn grafen til vindhastighet v(r) som funksjon av avstand til tornadoens sentrum r. Hvor sterk er vinden i tornadoens ‘øye’ ? Hvor har vi den sterkeste vinden, og hvor sterk er den?

3.  La  r\({_0}\) være tornadoens radius og  v\({_0}\) den maksimale vindhastigheten ved r = r\({_0}\) . La vindhastigheten v(r) være uttrykt ved:

\({v(r) = v_0 \large \frac{r}{r_0}}\) når \({0 \leq  r < r_0}\)

\({v(r) = v_0 \large \frac{r_0}{r}}\) når \({r_0 \leq r <  \infty}\)

Løs den syklostrofiske ligningen som en separabel differensialligning slik at du får et funksjonsuttrykk for trykket P(r). Finn løsningen som tilsier at P(r) = 100 000 Pa når r \({\rightarrow \infty}\). Du skal få to funksjonsuttrykk; ett som gjelder når r < r\({_0}\) og ett som gjelder når r > r\({_0}\). Når r = r\({_0}\) skal de to funksjonsuttrykkene være like.

De ødeleggende kreftene forbundet med en tornado gjør at det finnes få direkte målinger av temperatur, trykk og vindhastighet fra innsiden av en tornado. Dette gjør at ‘tornado-styrke’ som regel klassifiserer ut i fra skadeomfanget (i henhold til Fujita skalaen), og at vindhastigheten estimeres deretter.

4.  En typisk klasse-F3 tornado har en radius r\({_0}\) på 175 m og vindhastighet v\( {_0}\) på 80 m/s. I GeoGebra, tegn grafen til de to funksjonsuttrykkene for P(r) som du fant i Oppgave 3 for denne F3-tornadoen. Hva er trykket i tornadoens senter? Bruk resultatene dine fra Oppgave 1 og Oppgave 4 til å beskrive en tornados struktur.

Her kan du lese mer om hvor og hvordan tornadoer oppstår, og hvordan de varsles!